Lukáš Pospíšil začal poznávat hru na violoncello ve třídě prof. Mirko Škampy, absolvoval pražskou konzervatoř (prof. Viktor Moučka) a Akademii múzických umění v Praze (prof. Miloš Sádlo). Ve školním roce 1991 – 92 studoval na Vysoké hudební škole (Hochschule für Musik und darstellende Kunst) ve Vídni u prof. Angelicy May. V průběhu studií se zúčastnil řady mistrovských kurzů (Erkki Rautio, Heinrich Schiff, Martin Hornstein aj.) a interpretačních soutěží. V roce 1983 získal 3. cenu v soutěži o Cenu Beethovenova Hradce a o pět let později se stal vítězem Janáčkovy soutěže v Brně (1988).
V letech 1988 – 1991 působil jako člen skupiny i jako koncertní mistr violoncell v mezinárodním Gustav Mahler Jugendorchester (Mládežnický orchestr Gustava Mahlera) a 2004 – 2005 jako sólo cellista v Kammerorchester Berlin.
Od roku 1994 je koncertním mistrem violoncell orchestru PKF-Prague Philharmonia (zakladatel prof. Jiří Bělohlávek).
Lukáš Pospíšil působí rovněž jako komorní hráč. Roku 2014 se stal členem smyčcového kvarteta Zeiher Quartett. Pravidelně spolupracuje s vynikajícím houslistou Jakubem Fišerem, primáriem Benewitzova kvarteta a skvělým pianistou a dirigentem Markem Šedivým.
Jako sólový hráč koncertuje Lukáš Pospíšil u nás i v zahraničí (Dánsko, Rakousko, Švýcarsko, Německo, Jordánsko, Lucemburk). Spolupracuje s orchestry PKF-Prague Philharmonia, Západočeským symfonickým orchestrem Mariánské lázně, Severočeskou filharmonií Teplice atd. a s dirigenty Jakubem Hrůšou, Michaelem Roháčem, Jiřím Bělohlávkem, Jackem Martinem Händlerem atd. Věnuje se propagaci děl českých autorů (např. provedl v Berlínském Schauspielhausu s tamním rozhlasovým orchestrem Concertino Bohuslava Martinů či ve světové premiéře uvedl v cyklu České filharmonie pod vedením Jakuba Hrůši Koncert pro violoncello a orchestr Zdeňka Šestáka).
V roce 2000 natočil s Pražskou komorní filharmonií a Jiřím Bělohlávkem sólové CD, které vyšlo ve vydavatelství Lotos.