Lukáš Pospíšil začal poznávat krásy hry na violoncello pod vedením svého otce Ladislava Pospíšila a zároveň ve třídě prof. Mirko Škampy. Poté absolvoval Pražskou konzervatoř pod vedením prof. Viktora Moučky a Akademii múzických umění v Praze ve třídě prof. Miloše Sádla.
Své hudební vzdělání si dále prohloubil na Vysoké hudební škole (Hochschule für Musik und darstellende Kunst) ve Vídni u prof. Angelicy May. Během studií se zúčastnil řady prestižních mistrovských kurzů u osobností, jakými jsou Erkki Rautio, Heinrich Schiff či Martin Hornstein. Své kvality potvrdil i na interpretačních soutěžích – v roce 1983 získal 3. cenu v soutěži o Cenu Beethovenova Hradce a v roce 1988 se stal absolutním vítězem Janáčkovy soutěže v Brně.
V současnosti je Lukáš Pospíšil koncertním mistrem skupiny violoncell ve Filharmonii Hradec Králové. Své dlouholeté orchestrální zkušenosti zúročuje také jako koncertní mistr skupiny violoncell v Prague Philharmonia, kde působí již od jejího založení Jiřím Bělohlávkem v roce 1994.
Jeho bohatá orchestrální dráha zahrnuje také významné zahraniční angažmá, především několikaleté působení na postu sólo-violoncellisty v Kammerorchester Berlin. V posledních letech hostoval jako první violoncellista ve Filharmonickém orchestru Würzburg.
Hudební směřování Lukáše Pospíšila výrazně ovlivnila dlouhodobá a intenzivní spolupráce s dirigentem Jackem Martinem Händlerem, a to jak v rámci jeho orchestrů, tak i v roli sólisty (vystoupení v Lucemburku, Bratislavě či Vídni).
Kromě orchestrální činnosti je vyhledávaným a aktivním komorním hráčem (v minulosti působil např. ve smyčcovém kvartetu Zeiher Quartett ve Würzburgu). V současné době se věnuje intenzivní komorní spolupráci s klavíristou Filipem Martinkou a pravidelně vystupuje po boku dalších vynikajících interpretů.